Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất?

Thứ năm - 04/01/2024 09:09

Chúng ta đều biết rằng để đi từ một vị trí A tới vị trí B thì đường thẳng là lựa chọn tối ưu. Thế nhưng vấn đề Toán học sau sẽ khiến bạn có cái nhìn hoàn toàn khác!
Cùng khám phá một trong những vấn đề quan trọng nhất của Toán học: Bài toán Brachistochrone.
Bài toán kinh điển Brachistochrone.

Đây là bài toán bắt nguồn từ vấn đề cơ học nhưng được giải bởi Toán học.
Mặc dù trước đó Newton đã từng nghĩ đến bài toán này, nhưng cho đến thời Bernoulli thì bài toán mới đựoc đặt ra và giải quyết một cách thỏa đáng.
Bài toán có tên Brachistochrone, xuất phát từ tiếng Hy Lạp: Brachistos có nghĩa là "ngắn nhất" và chronos có nghĩa là "thời gian". Tiếng Việt có sách gọi là "đoản thời".
Vào tháng 6/1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học thời bấy giờ (chủ yếu là gửi đến ông anh trai James Bernouilli ) bằng bài toán được phát biểu một cách dễ hiểu như sau:
"Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?"
Trực giác của bạn có thể cho rằng đó là một đường thẳng nhưng thực ra không phải, mặc dù đó là đường có độ dài ngắn nhất.
Câu trả lời ở đây là đường cong Cycloid.
Trong một cuốn sách của mình xuất bản 1638, Galileo cũng đã đề cập đến bài toán này và chứng minh được rằng quỹ đạo là cung tròn thì nhanh hơn quỹ đạo thẳng. Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ông không phải là lời giải đúng.

Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất? - Ảnh 2.

Trong quá trình tìm kiếm câu trả lời, một phân nhánh mới của Toán học đã ra đời, đó là Giải tích nhiều biến.

Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất? - Ảnh 3.

Bức ảnh trên cho thấy thời gian di chuyển của quả bóng đối với mỗi hình dạng đường đi, điều thú vị là đường thẳng lại là đường mất nhiều thời gian nhất.
Lời giải cho bài toán.
Bài toán được giải bằng phương pháp vi phân và đáp án chính là đường Cycloid. Bài toán và lời giải cũng là minh họa cho một trong những nguyên lý đẹp nhất của cơ học cổ điển: Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
Nếu nói một cách nôm na là "tự nhiên luôn thực hiện mọi việc một cách hết sức tiết kiệm và dè sẻn"!

Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất? - Ảnh 4.

Tự nhiên luôn tối ưu các phương án của mình.

Nói riêng khi ta xét đến hành trình của một tia sáng, nó luôn luôn chọn con đường nào có thời gian đi ngắn nhất. Còn đối với một viên bi khi trượt từ trên cao xuống, nó lại chọn cho mình đường cong Cycloid chứ không phải đường thẳng!